Hàm Bessel, còn được gọi là Hàm xi lanh, bất kỳ tập hợp các hàm toán học nào có nguồn gốc một cách có hệ thống vào khoảng năm 1817 bởi nhà thiên văn học người Đức Friedrich Wilhelm Bessel trong một cuộc điều tra các giải pháp của một trong các phương trình chuyển động hành tinh của Kepler. Các chức năng đặc biệt của tập hợp đã được các nhà toán học người Thụy Sĩ Daniel Bernoulli xây dựng trước đó, người đã nghiên cứu các dao động của một chuỗi lơ lửng ở một đầu và Leonhard Euler, người đã phân tích các rung động của một màng kéo dài.
Sau khi Bessel công bố phát hiện của mình, các nhà khoa học khác phát hiện ra rằng các hàm xuất hiện trong các mô tả toán học của nhiều hiện tượng vật lý, bao gồm dòng nhiệt hoặc điện trong một hình trụ rắn, sự truyền sóng điện từ dọc theo dây dẫn, nhiễu xạ ánh sáng, chuyển động của chất lỏng và các biến dạng của cơ thể đàn hồi. Một trong những nhà điều tra này, Lord Rayleigh, cũng đã đặt các hàm Bessel trong bối cảnh lớn hơn bằng cách cho thấy rằng chúng phát sinh trong giải pháp của phương trình Laplace (qv) khi phương trình sau được xây dựng theo tọa độ hình trụ (thay vì theo hình học của Cartesian hoặc hình cầu).
Cụ thể, hàm Bessel là một giải pháp của phương trình vi phân
được gọi là phương trình Bessel. Đối với các giá trị tích phân của n, các hàm Bessel là
Biểu đồ của J 0 (x) trông giống như đường cong cosine bị ẩm và của J 1 (x) trông giống như đường cong hình sin bị ẩm (xem Biểu đồ).
Một số vấn đề vật lý nhất định dẫn đến các phương trình vi phân tương tự như phương trình của Bessel; các giải pháp của họ có dạng kết hợp các hàm Bessel và được gọi là các hàm Bessel loại thứ hai hoặc thứ ba.
