Logic chính thức

Tableaux ngữ nghĩa

Từ những năm 1980, một kỹ thuật khác để xác định tính hợp lệ của các đối số trong PC hoặc LPC đã trở nên phổ biến, nhờ cả việc dễ học và triển khai đơn giản bởi các chương trình máy tính. Ban đầu được đề xuất bởi nhà logic học người Hà Lan Evert W. Beth, nó được phát triển và công bố đầy đủ hơn bởi nhà toán học và nhà logic học người Mỹ Raymond M. Smullyan. Dựa vào quan sát rằng các tiền đề của một đối số hợp lệ là không thể đúng trong khi kết luận là sai, phương pháp này cố gắng diễn giải (hoặc đánh giá) các tiền đề theo cách mà tất cả chúng đều đồng thời hài lòng và phủ định kết luận cũng hài lòng. Thành công trong nỗ lực như vậy sẽ cho thấy lập luận là không hợp lệ, trong khi việc không tìm ra cách giải thích như vậy sẽ cho thấy nó hợp lệ.

Việc xây dựng một tableau ngữ nghĩa tiến hành như sau: diễn tả các tiền đề và phủ định kết luận của một đối số trong PC chỉ sử dụng phủ định (∼) và phân biệt (∨) làm các kết nối mệnh đề. Loại bỏ mọi sự xuất hiện của hai dấu hiệu phủ định trong một chuỗi (ví dụ: ∼∼∼∼∼a trở thành ∼a). Bây giờ xây dựng một sơ đồ cây phân nhánh xuống dưới sao cho mỗi phân đoạn được thay thế bằng hai nhánh, một cho phân biệt bên trái và một cho bên phải. Sự khác biệt ban đầu là đúng nếu một trong hai nhánh là đúng. Tham chiếu đến các luật của De Morgan cho thấy rằng một phủ định của một sự phân tách là đúng chỉ trong trường hợp các phủ định của cả hai từ chối là đúng [tức là (p ∨ q) (p · q)]. Quan sát ngữ nghĩa này dẫn đến quy tắc rằng phủ định của một phân tách trở thành một nhánh chứa phủ định của mỗi phân biệt:

Hãy xem xét các đối số sau đây:

Viết:

Bây giờ tấn công các hàm và tạo thành hai nhánh:

Chỉ khi tất cả các câu trong ít nhất một nhánh là đúng thì các tiền đề ban đầu là đúng và kết luận sai (tương đương với phủ định của kết luận). Bằng cách lần theo dòng lên trên trong mỗi nhánh đến ngọn cây, người ta quan sát thấy rằng không có giá trị nào của nhánh bên trái sẽ dẫn đến tất cả các câu trong nhánh đó nhận giá trị đúng (vì sự hiện diện của a và ∼a). Tương tự, ở nhánh bên phải, sự hiện diện của b và ∼b làm cho việc định giá không thể dẫn đến tất cả các câu của nhánh nhận giá trị đúng. Đây là tất cả các ngành có thể; do đó, không thể tìm thấy một tình huống trong đó các tiền đề là đúng và kết luận sai. Đối số ban đầu là hợp lệ.

Kỹ thuật này có thể được mở rộng để đối phó với các kết nối khác:

Hơn nữa, trong LPC, các quy tắc khởi tạo các wff được định lượng cần phải được đưa ra. Rõ ràng, bất kỳ nhánh nào chứa cả (∀x) x và ∼ϕy là một trong đó không phải tất cả các câu trong nhánh đó đều có thể được thỏa mãn đồng thời (theo giả định về tính nhất quán; xem metalogic). Một lần nữa, nếu tất cả các nhánh không đồng thời thỏa mãn, đối số ban đầu là hợp lệ.

Các hệ thống đặc biệt của LPC

LPC như đã giải thích ở trên có thể được sửa đổi bằng cách hạn chế hoặc mở rộng phạm vi của các wff theo nhiều cách khác nhau:

• 1. Hệ thống chính của LPC. Một số hệ thống quan trọng hơn được tạo ra bởi hạn chế được nêu ở đây:

  • a.Đó có thể được yêu cầu rằng mọi biến vị ngữ đều là đơn âm trong khi vẫn cho phép vô số biến cá nhân và biến vị ngữ. Các wff nguyên tử sau đó chỉ đơn giản là những cái bao gồm một biến vị ngữ theo sau là một biến riêng lẻ. Mặt khác, các quy tắc hình thành vẫn như trước và định nghĩa về tính hợp lệ cũng như trước đây, mặc dù được đơn giản hóa theo những cách rõ ràng. Hệ thống này được gọi là LPC đơn âm; nó cung cấp một logic của các thuộc tính nhưng không phải là quan hệ. Một đặc điểm quan trọng của hệ thống này là nó có thể quyết định được..

  • bA vẫn có thể hình thành hệ thống đơn giản hơn bằng cách yêu cầu (1) rằng mọi biến vị ngữ đều là đơn âm, (2) chỉ sử dụng một biến riêng lẻ (ví dụ: x), (3) rằng mọi sự xuất hiện của biến này đều bị ràng buộc và (4) rằng không có định lượng xảy ra trong phạm vi của bất kỳ khác. Ví dụ về các wff của hệ thống này là (x) [x ⊃ (x · x)] (Hồi Dù là là cả và χ)); (X) (x · x) (Có một cái gì đó là ϕ nhưng không phải ψ); và (x) (x ⊃ x) ⊃ (x) (x · x) (Giả Nếu bất cứ điều gì là ϕ là, thì một cái gì đó là cả và ψ). Ký hiệu cho hệ thống này có thể được đơn giản hóa bằng cách bỏ x ở khắp mọi nơi và viết cho một cái gì đó là ϕ, đâm (ϕ ⊃ ψ) cho đối với bất cứ điều gì ϕ là ϕ,, v.v. Mặc dù hệ thống này còn thô sơ hơn cả LPC đơn điệu (trong đó là một đoạn), các hình thức của một loạt các suy luận có thể được trình bày trong đó. Nó cũng là một hệ thống có thể quyết định và các thủ tục quyết định thuộc loại cơ bản có thể được đưa ra cho nó.

• 2. Mở rộng LPC. Các hệ thống phức tạp hơn, trong đó một loạt các đề xuất có thể được thể hiện, đã được xây dựng bằng cách thêm vào các biểu tượng mới của LPC thuộc nhiều loại khác nhau. Đơn giản nhất của các bổ sung như vậy là:

  • a.One hoặc nhiều hằng số riêng lẻ (giả sử, a, b,

    ): các hằng số này được hiểu là tên của các cá nhân cụ thể; chính thức chúng được phân biệt với các biến riêng lẻ bởi thực tế là chúng không thể xảy ra trong các bộ lượng hóa; ví dụ: (x) là một bộ định lượng nhưng (a) thì không.

  • b. Một hoặc nhiều hằng số vị ngữ (nói, A, B,

    ), mỗi mức độ được chỉ định, được coi là chỉ định các thuộc tính hoặc quan hệ cụ thể.

Một bổ sung có thể hơn nữa, yêu cầu giải thích có phần đầy đủ hơn, bao gồm các biểu tượng được thiết kế để đại diện cho các chức năng. Khái niệm về chức năng có thể được giải thích đầy đủ cho các mục đích hiện tại như sau. Có một hàm nhất định của n đối số (hoặc, độ n) khi có một quy tắc chỉ định một đối tượng duy nhất (được gọi là giá trị của hàm) bất cứ khi nào tất cả các đối số được chỉ định. Chẳng hạn, trong lãnh địa của loài người, mẹ của - là một chức năng đơn nguyên (một chức năng của một đối số), vì đối với mỗi con người, có một cá thể duy nhất là mẹ của anh ta; và trong miền của các số tự nhiên (nghĩa là 0, 1, 2,

), Số tổng của - và - Là một hàm của hai đối số, vì đối với bất kỳ cặp số tự nhiên nào cũng có một số tự nhiên là tổng của chúng. Một biểu tượng chức năng có thể được coi là hình thành một tên trong số các tên khác (đối số của nó); do đó, bất cứ khi nào số x và y tên, thì tổng của x và yR cũng đặt tên cho một số và tương tự cho các loại hàm và đối số khác.

Để cho phép các chức năng được thể hiện trong LPC, có thể được thêm vào:

• c.One hoặc nhiều biến chức năng (giả sử, f, g,

  ) hoặc một hoặc nhiều hằng số hàm (giả sử F, G,

  ) hoặc cả hai, mỗi mức độ được chỉ định. Cái trước được hiểu là phạm vi chức năng của các mức độ được chỉ định và cái sau là chỉ định các chức năng cụ thể của mức độ đó.

Khi bất kỳ hoặc tất cả các c c được thêm vào LPC, các quy tắc hình thành được liệt kê trong đoạn đầu tiên của phần trên phép tính vị ngữ thấp hơn (xem ở trên Tính toán vị ngữ thấp hơn) cần được sửa đổi để cho phép các biểu tượng mới được tích hợp vào wff Điều này có thể được thực hiện như sau: Một thuật ngữ trước tiên được định nghĩa là (1) một biến riêng lẻ hoặc (2) một hằng số riêng lẻ hoặc (3) bất kỳ biểu thức nào được hình thành bằng cách thêm tiền tố vào một biến số hoặc hằng số hàm độ n cho bất kỳ thuật ngữ n nào (các thuật ngữ này, các đối số của biểu tượng hàm, thường được phân tách bằng dấu phẩy và đặt trong dấu ngoặc đơn). Quy tắc hình thành 1 sau đó được thay thế bằng:

• 1′.Một biểu thức bao gồm một biến vị ngữ hoặc hằng số vị ngữ có độ n theo sau là các số hạng n là wff.

Cơ sở tiên đề được đưa ra trong phần về tiên đề của LPC (xem phần Axiomatization của LPC) cũng yêu cầu sửa đổi sau: trong lược đồ tiên đề 2, bất kỳ thuật ngữ nào cũng được phép thay thế khi β được hình thành, với điều kiện là không có biến nào là miễn phí trong hạn trở thành ràng buộc trong. Các ví dụ sau đây sẽ minh họa việc sử dụng các bổ sung đã nói ở trên cho LPC: hãy để các giá trị của các biến riêng lẻ là các số tự nhiên; để các hằng số riêng a và b lần lượt là các số 2 và 3; hãy để A có nghĩa là đỉnh cao và để F đại diện cho hàm dyadic, tổng của. Sau đó AF (a, b) biểu thị mệnh đề Tổng Tổng 2 và 3 là số nguyên tố, Tiết và (∃x) AF (x, a) biểu thị mệnh đề Có tồn tại một số sao cho tổng của nó và 2 là số nguyên tố.

Việc giới thiệu các hằng số thường đi kèm với việc bổ sung vào cơ sở tiên đề của các tiên đề đặc biệt có chứa các hằng số đó, được thiết kế để thể hiện các nguyên tắc giữ các đối tượng, tính chất, quan hệ hoặc chức năng được biểu thị bởi chúng mặc dù chúng không giữ các đối tượng, thuộc tính, quan hệ, hoặc chức năng nói chung. Chẳng hạn, có thể quyết định sử dụng hằng số A để biểu thị mối quan hệ dyadic là lớn hơn so với (do đó Axy có nghĩa là x x lớn hơn y và v.v.). Mối quan hệ này, không giống như nhiều người khác, là bắc cầu; tức là, nếu một đối tượng lớn hơn một giây và giây đó lần lượt lớn hơn một phần ba, thì đối tượng thứ nhất lớn hơn đối tượng thứ ba. Do đó, lược đồ tiên đề đặc biệt sau đây có thể được thêm vào: nếu t ₁, t ₂ và t ₃ là bất kỳ số hạng nào, thì (Tại ₁ t ₂ · Tại ₂ t ₃) Ở ₁ t ₃ là một tiên đề. Bằng cách đó, các hệ thống có thể được xây dựng để thể hiện các cấu trúc logic của các ngành cụ thể khác nhau. Lĩnh vực mà hầu hết các công việc thuộc loại này đã được thực hiện là số học số tự nhiên.

PC và LPC đôi khi được kết hợp thành một hệ thống duy nhất. Điều này có thể được thực hiện đơn giản nhất bằng cách thêm các biến mệnh đề vào danh sách các nguyên hàm LPC, thêm quy tắc hình thành vào hiệu ứng mà biến số mệnh đề đứng một mình là wff và xóa LPC tựa trong lược đồ tiên đề 1. Điều này mang lại những biểu thức như vậy như (p q) (x) ϕx và (x) [p ⊃ (∀y) xy].

• 3.LPC-với-nhận dạng. Từ không phải lúc nào cũng được sử dụng theo cùng một cách. Trong một mệnh đề, chẳng hạn như (1), Soc Socrates bị hợm hĩnh, thì biểu thức đứng trước tên là một tên cá nhân và biểu thức theo sau nó là viết tắt của một thuộc tính được gán cho cá nhân đó. Nhưng, trong một mệnh đề như (2), Soc Socrates là nhà triết học người Athens đã uống hemlock, các biểu thức đi trước và theo sau là một tên cá nhân, và ý nghĩa của toàn bộ mệnh đề là cá nhân được đặt tên đầu tiên là cá nhân giống như cá nhân được đặt tên bởi thứ hai. Do đó, trong 2, thì có thể mở rộng ra thành một tên cá nhân giống như, trong khi ở 1 thì không thể. Như được sử dụng trong 2, Hiện tại, Đây là một từ viết tắt của mối quan hệ dyadic, cụ thể là nhận dạng mà mệnh đề khẳng định giữ giữa hai cá nhân. Một đề xuất danh tính sẽ được hiểu trong bối cảnh này là khẳng định không hơn thế này; đặc biệt không được coi là khẳng định rằng hai biểu thức đặt tên có cùng một nghĩa. Một ví dụ được thảo luận nhiều để minh họa điểm cuối cùng này là Ngôi sao buổi sáng là ngôi sao buổi tối. Thật sai khi các biểu thức của ngôi sao buổi sáng và ngôi sao buổi tối, ý nghĩa tương tự, nhưng đúng là vật thể được nhắc đến trước đây giống như cái được gọi bởi cái sau (hành tinh Venus).

Để cho phép các hình thức đề xuất danh tính được thể hiện, hằng số vị ngữ dyadic được thêm vào LPC, trong đó ký hiệu thông thường nhất là = (được viết giữa, thay vì trước đó, các đối số của nó). Giải thích dự định của x = y là x là cùng một cá nhân với y và cách đọc thuận tiện nhất là Đá x giống hệt với y. Phủ định của nó (x = y) thường được viết tắt là x ≠ y. Theo định nghĩa của mô hình LPC được đưa ra trước đó (xem ở trên Tính hợp lệ trong LPC), giờ đây đã thêm quy tắc (phù hợp với cách giải thích rõ ràng) rằng giá trị của x = y là 1 nếu cùng một thành viên của D được gán cho cả x và y và nếu không thì giá trị của nó là 0; hiệu lực sau đó có thể được xác định như trước. Các bổ sung sau (hoặc một số bổ sung tương đương) được tạo cho cơ sở tiên đề cho LPC: tiên đề x = x và lược đồ tiên đề, trong đó a và b là bất kỳ biến riêng lẻ nào và α và β là các wff chỉ khác nhau ở đó, tại một hoặc nhiều nơi trong đó α có sự xuất hiện tự do của a, β có sự xuất hiện tự do của b, (a = b) (α ⊃) là một tiên đề. Một hệ thống như vậy được gọi là một tính toán vị ngữ thấp hơn với danh tính; tất nhiên nó có thể được tăng cường hơn nữa theo các cách khác được đề cập ở trên trong Phần mở rộng của LPC, trong trường hợp bất kỳ thuật ngữ nào có thể là một đối số của =.

Bản sắc là một mối quan hệ tương đương; tức là nó là phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Tính phản xạ của nó được biểu thị trực tiếp trong tiên đề x = x, và các định lý biểu thị tính đối xứng và tính chuyển đổi của nó có thể dễ dàng được rút ra từ cơ sở đã cho.

Một số wff nhất định của LPC-với-nhận dạng đề xuất về số lượng những thứ sở hữu một tài sản nhất định. Ít nhất một điều là ϕ Tất nhiên, có thể được thể hiện bằng (∃x) x; Ít nhất hai thứ khác biệt (không ngẫu nhiên) là ϕ Hiện tại có thể được biểu thị bằng (∃x) (y) (x · y · x ≠ y); và trình tự có thể được tiếp tục một cách rõ ràng. Nhiều nhất một điều là ϕ Nghi (tức là, Không có hai thứ riêng biệt nào cả hai ϕ) có thể được thể hiện bằng cách phủ định của wff được đề cập cuối cùng hoặc bằng cách tương đương, (∀x) (y) [(ϕx · ϕy) x = y] và trình tự có thể dễ dàng tiếp tục. Một công thức cho một cách chính xác là một điều là Có thể thu được bằng cách kết hợp các công thức cho Càng ít nhất một điều là ϕ và và Nhiều nhất một điều là ϕ, hay nhưng một wff đơn giản hơn tương đương với kết hợp này là (∃x) [ϕx · (y) (y ⊃ x = y)], có nghĩa là có một cái gì đó là ϕ, và bất cứ điều gì là là điều đó. Mệnh đề chính xác Hai điều là ϕ có thể được biểu diễn bởi (x) (y) {x · y · x ≠ y · (z) [z ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; tức là, có hai thứ không chính thức, mỗi thứ là ϕ và bất cứ thứ gì ϕ là cái này hay cái kia. Rõ ràng, chuỗi này cũng có thể được mở rộng để đưa ra một công thức cho những thứ chính xác của N là ϕ cho mỗi số tự nhiên n. Thật thuận tiện để viết tắt wff cho nhóm Chính xác một điều là ϕ đối với (∃! X) x. Bộ định lượng đặc biệt này thường được đọc to như là E-Shriek x.

Mô tả xác định

Khi một thuộc tính nhất định ϕ thuộc về một và chỉ một đối tượng, sẽ thuận tiện khi có một biểu thức đặt tên cho đối tượng đó. Một ký hiệu phổ biến cho mục đích này là (ιx) x, có thể được đọc là Rô-bốt, thứ hay nói ngắn gọn hơn là Rằng ϕ. Nói chung, trong đó a là bất kỳ biến riêng lẻ nào và α là bất kỳ wff nào, (ιa) α sau đó là viết tắt của giá trị duy nhất của a làm cho α đúng. Một biểu thức của hình thức mà một người khác được gọi là mô tả xác định; và (ιx), được gọi là toán tử mô tả, có thể được coi là hình thành tên của một cá nhân từ một dạng mệnh đề. (ιx) tương tự như một bộ định lượng ở chỗ, khi được thêm tiền tố vào wff α, nó liên kết mọi lần xuất hiện tự do của x trong α. Thay đổi các biến ràng buộc cũng được cho phép; trong trường hợp đơn giản nhất, (ιx) x và (ιy) y mỗi người có thể được đọc một cách đơn giản là Rô-.

Theo như các quy tắc hình thành có liên quan, các mô tả xác định có thể được kết hợp vào LPC bằng cách cho phép các biểu thức có dạng (ιa) α được tính là các thuật ngữ; quy tắc 1 ′ ở trên, trong phần mở rộng của LPC, sau đó sẽ cho phép chúng xảy ra trong các công thức nguyên tử (bao gồm cả các công thức nhận dạng). Sau đó, “là (có nghĩa là có tài sản) ψ Sau đó, có thể được biểu thị là (ιx) x; Cạn y là (cùng một cá nhân với) ϕ Phù như y = (ιx) x; Là (cùng một cá nhân với) ψ là as (ιx) x = (ιy) y; và kể từ đó trở đi.

Các phân tích chính xác của các đề xuất có chứa các mô tả xác định đã là chủ đề của tranh cãi triết học đáng kể. Một tài khoản được chấp nhận rộng rãi, tuy nhiên, về cơ bản, được trình bày trong Princia Mathematica và được gọi là lý thuyết mô tả của Russell, ông cho rằng, The is ψ is được hiểu là chính xác một điều là và điều đó cũng là. Trong trường hợp đó, nó có thể được biểu thị bằng một LPC-nhận dạng không chứa toán tử mô tả, cụ thể là, (1) (x) [x · (y) (y ⊃ x = y) · x]. Tương tự, thì y y là ϕ Nghi được phân tích là Mạnh y là ϕ và không có gì khác là ϕ và do đó có thể biểu thị bằng (2) y · (x) (x ⊃ x = y). “Là ψ là ψ được phân tích là chính xác một điều là, chính xác một điều là ψ, và bất cứ điều gì là ϕ là ψ và do đó có thể biểu thị bằng (3) (x) [x · (y) (ϕy ⊃ x = y)] · (x) [x · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). then (ιx) x, y = (ιx) x và (ιx) x = (ιy) y sau đó có thể được coi là viết tắt cho (1), (2) và (3); và bằng cách khái quát hóa cho các trường hợp phức tạp hơn, tất cả các wff có chứa toán tử mô tả có thể được coi là viết tắt cho các wff dài hơn không.

Phân tích dẫn đến (1) là một công thức cho Làn ϕ là ψ Nghi dẫn đến những điều sau đây đối với Lọ ϕ không phải là ψ: (4) (x) [x · (y) (y ⊃ x = y) · ∼ψx]. Điều quan trọng cần lưu ý là (4) không phải là phủ định của (1); thay vào đó, phủ định này là (5) ∼ (x) [x · (y) (y ⊃ x = y) · x]. Sự khác biệt về ý nghĩa giữa (4) và (5) nằm ở chỗ (4) chỉ đúng khi có chính xác một điều là ϕ và điều đó không phải là, nhưng (5) là đúng cả trong trường hợp này và ngoài ra khi không có gì là và khi có nhiều hơn một thứ là ϕ. Việc bỏ qua sự phân biệt giữa (4) và (5) có thể dẫn đến sự nhầm lẫn nghiêm trọng về tư tưởng; trong lời nói thông thường, người ta thường không rõ liệu ai đó phủ nhận rằng ϕ là đang thừa nhận rằng chính xác một điều là ϕ nhưng phủ nhận rằng đó là ψ, hoặc phủ nhận rằng chính xác một điều là.

Sự tranh chấp cơ bản trong lý thuyết mô tả của Russell là một mệnh đề chứa một mô tả xác định không được coi là một khẳng định về một đối tượng mà mô tả đó là một tên mà là một xác nhận được định lượng tồn tại mà một thuộc tính (khá phức tạp) có một ví dụ. Chính thức, điều này được phản ánh trong các quy tắc để loại bỏ các toán tử mô tả đã được nêu ở trên.