Toán học vấn đề Sturm-Liouville

Bài toán Sturm-Liouville, hay bài toán eigenvalue, trong toán học, một lớp phương trình vi phân từng phần (PDE) nhất định chịu các ràng buộc bổ sung, được gọi là giá trị biên, trên các giải pháp. Các phương trình như vậy là phổ biến trong cả vật lý cổ điển (ví dụ, dẫn nhiệt) và cơ học lượng tử (ví dụ phương trình Schrödinger) để mô tả các quá trình trong đó một số giá trị bên ngoài (giá trị biên) được giữ không đổi trong khi hệ thống quan tâm truyền một dạng năng lượng.

Vào giữa những năm 1830, các nhà toán học người Pháp Charles-François Sturm và Joseph Liouville đã làm việc độc lập với vấn đề dẫn nhiệt qua một thanh kim loại, trong quá trình phát triển các kỹ thuật để giải một lớp PDE lớn, đơn giản nhất có dạng [p (x) y ′] + [q (x) - r (x)] y = 0 trong đó y là một số lượng vật lý (hoặc hàm sóng cơ học lượng tử) và là một tham số, hoặc giá trị riêng, ràng buộc phương trình rằng y thỏa mãn các giá trị biên tại các điểm cuối của khoảng mà biến x nằm trong phạm vi. Nếu các hàm p, q và r thỏa mãn các điều kiện phù hợp, phương trình sẽ có một họ các giải pháp, được gọi là các hàm riêng, tương ứng với các giải pháp eigenvalue.

Đối với trường hợp không đồng nhất phức tạp hơn, trong đó phía bên phải của phương trình trên là một hàm, f (x), chứ không phải bằng 0, các giá trị riêng của phương trình đồng nhất tương ứng có thể được so sánh với các giá trị riêng của phương trình ban đầu. Nếu các giá trị này khác nhau, vấn đề sẽ có một giải pháp duy nhất. Mặt khác, nếu một trong các giá trị riêng này khớp, vấn đề sẽ không có giải pháp hoặc toàn bộ họ giải pháp, tùy thuộc vào các thuộc tính của hàm f (x).