Phương trình vi phân

Phương trình vi phân, báo cáo toán học có chứa một hoặc nhiều dẫn xuất, nghĩa là các thuật ngữ biểu thị tốc độ thay đổi của các đại lượng thay đổi liên tục. Các phương trình vi phân rất phổ biến trong khoa học và kỹ thuật, cũng như trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu định lượng khác, bởi vì những gì có thể được quan sát và đo lường trực tiếp cho các hệ thống trải qua những thay đổi là tốc độ thay đổi của chúng. Nói chung, giải pháp của một phương trình vi phân là một phương trình biểu thị sự phụ thuộc chức năng của một biến đối với một hoặc nhiều biến khác; nó thường chứa các số hạng không đổi không có trong phương trình vi phân ban đầu. Một cách khác để nói điều này là giải pháp của phương trình vi phân tạo ra một hàm có thể được sử dụng để dự đoán hành vi của hệ thống ban đầu, ít nhất là trong một số ràng buộc nhất định.

phân tích: Newton và phương trình vi phân

ứng dụng của phân tích là các phương trình vi phân, liên quan đến tốc độ thay đổi của các đại lượng khác nhau với các giá trị hiện tại của chúng,

Các phương trình vi phân được phân loại thành nhiều loại lớn, và chúng lần lượt được chia thành nhiều loại phụ. Các loại quan trọng nhất là phương trình vi phân thông thường và phương trình vi phân từng phần. Khi hàm liên quan đến phương trình chỉ phụ thuộc vào một biến duy nhất, các đạo hàm của nó là các đạo hàm thông thường và phương trình vi phân được phân loại là một phương trình vi phân thông thường. Mặt khác, nếu hàm phụ thuộc vào một số biến độc lập, do đó các đạo hàm của nó là đạo hàm riêng, phương trình vi phân được phân loại thành phương trình vi phân từng phần. Sau đây là các ví dụ về phương trình vi phân thông thường:

Trong đó, y là viết tắt của hàm và t hoặc x là biến độc lập. Ký hiệu k và m được sử dụng ở đây để đại diện cho các hằng số cụ thể.

Cho dù loại này có thể là gì, một phương trình vi phân được gọi là bậc thứ n nếu nó liên quan đến một đạo hàm của bậc thứ n nhưng không có đạo hàm của một lệnh cao hơn này. Phương trình là một ví dụ về phương trình vi phân từng phần của bậc hai. Các lý thuyết về phương trình vi phân thông thường và một phần khác nhau rõ rệt và vì lý do này, hai loại được xử lý riêng.

Thay vì một phương trình vi phân duy nhất, đối tượng nghiên cứu có thể là một hệ thống đồng thời của các phương trình đó. Việc xây dựng các định luật động lực thường xuyên dẫn đến các hệ thống như vậy. Trong nhiều trường hợp, một phương trình vi phân duy nhất của bậc thứ n có thể thay thế một cách thuận lợi bằng một hệ phương trình n đồng thời, mỗi phương trình đều theo thứ tự đầu tiên, do đó có thể áp dụng các kỹ thuật từ đại số tuyến tính.

Một phương trình vi phân thông thường, trong đó, ví dụ, hàm và biến độc lập được ký hiệu là y và x có hiệu lực là một bản tóm tắt ngầm về các đặc tính cơ bản của y là hàm của x. Những đặc điểm này có lẽ sẽ dễ tiếp cận hơn để phân tích nếu một công thức rõ ràng cho y có thể được sản xuất. Một công thức như vậy, hoặc ít nhất là một phương trình tính theo x và y (không liên quan đến đạo hàm) có thể suy ra từ phương trình vi phân, được gọi là một giải pháp của phương trình vi phân. Quá trình suy ra một giải pháp từ phương trình bằng các ứng dụng của đại số và phép tính được gọi là giải hoặc tích hợp phương trình. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng các phương trình vi phân có thể được giải quyết rõ ràng dưới dạng nhưng một thiểu số nhỏ. Vì vậy, hầu hết các chức năng phải được nghiên cứu bằng các phương pháp gián tiếp. Ngay cả sự tồn tại của nó phải được chứng minh khi không có khả năng sản xuất nó để kiểm tra. Trong thực tế, các phương pháp từ phân tích số, liên quan đến máy tính, được sử dụng để có được các giải pháp gần đúng hữu ích.