Kurt Gödel, Gödel cũng đánh vần Goedel, (sinh ngày 28 tháng 4 năm 1906, Brünn, Áo-Hungary [nay là Brno, Cộng hòa Séc] - deathJan. 14, 1978, Princeton, NJ, US), nhà toán học, nhà logic học người Áo nhà triết học đã thu được những gì có thể là kết quả toán học quan trọng nhất của thế kỷ 20: định lý bất toàn nổi tiếng của ông, nói rằng trong bất kỳ hệ thống toán học tiên đề nào, có những mệnh đề không thể được chứng minh hoặc bác bỏ trên cơ sở các tiên đề trong hệ thống đó; do đó, một hệ thống như vậy không thể đồng thời đầy đủ và nhất quán. Bằng chứng này đã xác lập Gôdel là một trong những nhà logic học vĩ đại nhất kể từ Aristotle, và hậu quả của nó tiếp tục được cảm nhận và tranh luận ngày hôm nay.
nền tảng của toán học: Gôdel
Ẩn ý trong chương trình của Hilbert là hy vọng rằng khái niệm cú pháp về khả năng chứng minh sẽ nắm bắt được khái niệm ngữ nghĩa của sự thật. Gôdel
Đầu đời và sự nghiệp
Gôdel phải trải qua nhiều giai đoạn sức khỏe yếu khi còn nhỏ, sau một cơn đau năm 6 tuổi bị sốt thấp khớp, khiến anh lo sợ có một số vấn đề về tim còn sót lại. Mối quan tâm suốt đời của anh ấy với sức khỏe của anh ấy có thể đã góp phần vào chứng hoang tưởng cuối cùng của anh ấy, bao gồm việc làm sạch một cách ám ảnh các dụng cụ ăn uống của anh ấy và lo lắng về độ tinh khiết của thực phẩm.
Là một người Áo nói tiếng Đức, Gôdel đột nhiên thấy mình sống ở đất nước Tiệp Khắc mới thành lập khi Đế quốc Áo-Hung tan rã vào cuối Thế chiến I năm 1918. Tuy nhiên, sáu năm sau, anh đi học ở Áo, tại Đại học Vienna, nơi ông lấy bằng tiến sĩ toán học năm 1929. Ông gia nhập khoa tại Đại học Vienna vào năm tới.
Trong thời kỳ đó, Vienna là một trong những trung tâm trí tuệ của thế giới. Đây là ngôi nhà của Vienna Circle nổi tiếng, một nhóm các nhà khoa học, nhà toán học và nhà triết học tán thành quan điểm tự nhiên, chủ nghĩa kinh nghiệm mạnh mẽ và quan điểm phản vật lý được gọi là chủ nghĩa thực chứng logic. Cố vấn luận văn của Gôdel, Hans Hahn, là một trong những người lãnh đạo của Vòng tròn Vienna, và ông đã giới thiệu sinh viên ngôi sao của mình cho nhóm. Tuy nhiên, quan điểm triết học của riêng Gôdel không thể khác hơn so với quan điểm của các nhà thực chứng. Ông đăng ký theo thuyết Platon, thuyết và thuyết nhị nguyên thân - tâm. Ngoài ra, anh ta cũng có phần không ổn định về tinh thần và bị hoang tưởng, một vấn đề trở nên tồi tệ hơn khi anh ta già đi. Do đó, liên hệ của anh với các thành viên của Hội tròn Vienna đã để lại cho anh cảm giác rằng thế kỷ 20 là thù địch với những ý tưởng của anh.
Định lý của Godel
Trong luận án tiến sĩ của mình, Chết Über die Vollständigkeit des Logikkalküls ((Về tính hoàn chỉnh của tính toán logic), được xuất bản dưới dạng rút gọn một chút vào năm 1930, Gotdel đã chứng minh một trong những kết quả logic quan trọng nhất của thế kỷ. tất cả thời gian, cụ thể là định lý hoàn chỉnh, đã thiết lập logic thứ nhất cổ điển, hay phép tính vị ngữ, hoàn thành theo nghĩa là tất cả các sự thật logic thứ nhất có thể được chứng minh trong các hệ thống chứng minh bậc nhất tiêu chuẩn.
Tuy nhiên, điều này không là gì so với những gì mà Gôdel xuất bản năm 1931, cụ thể là định lý không hoàn chỉnh: Văn Über chính thức unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme NGH ((Về các đề xuất chính thức không thể giải quyết được của Systemia). Nói một cách đơn giản, định lý này đã xác định kết quả là không thể sử dụng phương pháp tiên đề để xây dựng một lý thuyết toán học, trong bất kỳ nhánh toán học nào, đòi hỏi tất cả các sự thật trong nhánh toán học đó. (Ở Anh, Alfred North Whitehead và Bertrand Russell đã dành nhiều năm cho một chương trình như vậy, họ đã xuất bản dưới dạng Princia Mathematica trong ba tập vào năm 1910, 1912 và 1913.) Chẳng hạn, không thể đưa ra một lý thuyết toán học tiên đề nắm bắt được tất cả các sự thật về các số tự nhiên (0, 1, 2, 3,
). Đây là một kết quả tiêu cực cực kỳ quan trọng, vì trước năm 1931, nhiều nhà toán học đã cố gắng thực hiện chính xác rằng hệ thống tiên đề xây dựng có thể được sử dụng để chứng minh tất cả các sự thật toán học. Thật vậy, một số nhà logic học và toán học nổi tiếng (ví dụ, Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) đã dành những phần quan trọng trong sự nghiệp của họ cho dự án này. Thật không may cho họ, định lý của Gôdel đã phá hủy toàn bộ chương trình nghiên cứu tiên đề này.
Ngôi sao quốc tế và chuyển đến Hoa Kỳ
Sau khi công bố định lý bất toàn, Gôdel trở thành một nhân vật trí thức được quốc tế biết đến. Ông đã đến Hoa Kỳ nhiều lần và giảng dạy rộng rãi tại Đại học Princeton ở New Jersey, nơi ông gặp Albert Einstein. Đây là khởi đầu của một tình bạn thân thiết sẽ tồn tại cho đến khi Einstein qua đời vào năm 1955.
Tuy nhiên, cũng trong thời kỳ này, sức khỏe tinh thần của Gôdel bắt đầu xấu đi. Anh ta bị chứng trầm cảm, và sau vụ giết Moritz Schlick, một trong những người lãnh đạo Vòng tròn Vienna, bởi một học sinh loạn trí, Gôdel bị suy nhược thần kinh. Trong những năm tới, anh phải chịu đựng nhiều hơn nữa.
Sau khi Đức Quốc xã sáp nhập Áo vào ngày 12 tháng 3 năm 1938, Gôdel thấy mình trong một tình huống khá khó xử, một phần vì ông có một lịch sử lâu dài về sự liên kết chặt chẽ với nhiều thành viên Do Thái của Vòng tròn Vienna (thực sự, ông đã bị tấn công trên đường phố Vienna bởi những người trẻ tuổi nghĩ rằng anh ta là người Do Thái) và một phần vì anh ta đột nhiên có nguy cơ bị đưa vào quân đội Đức. Vào ngày 20 tháng 9 năm 1938, Gôdel kết hôn với Adele Nimbursky (nhũ danh Porkert), và khi Thế chiến II nổ ra một năm sau đó, ông trốn khỏi châu Âu cùng vợ, đi theo tuyến đường sắt xuyên Siberia qua châu Á, đi thuyền qua Thái Bình Dương, và sau đó bắt một chuyến tàu khác trên khắp Hoa Kỳ đến Princeton, NJ, nơi, với sự giúp đỡ của Einstein, ông đã đảm nhận một vị trí tại Viện Nghiên cứu Tiên tiến (IAS) mới thành lập. Ông đã dành phần còn lại của cuộc đời mình để làm việc và giảng dạy tại IAS, từ đó ông nghỉ hưu năm 1976. Gôdel trở thành công dân Hoa Kỳ vào năm 1948. (Einstein tham dự phiên điều trần vì hành vi của Gôdel khá khó đoán và Einstein sợ rằng Gôdel có thể phá hoại mình trường hợp riêng.)
Vào năm 1940, chỉ vài tháng sau khi đến Princeton, Gôdel đã xuất bản một bài báo toán học kinh điển khác, đó là tính nhất quán của Tiên đề lựa chọn và giả thuyết liên tục tổng quát hóa với các tiên đề của lý thuyết tập hợp, đã chứng minh rằng tiên đề của sự lựa chọn và tính liên tục giả thuyết phù hợp với các tiên đề tiêu chuẩn (như tiên đề Zermelo-Fraenkel) của lý thuyết tập hợp. Điều này đã thiết lập một nửa phỏng đoán của Gôdel, cụ thể là giả thuyết liên tục không thể được chứng minh là đúng hay sai trong các lý thuyết tập hợp tiêu chuẩn. Bằng chứng của Gôdel cho thấy rằng nó không thể được chứng minh là sai trong những lý thuyết đó. Năm 1963, nhà toán học người Mỹ Paul Cohen đã chứng minh rằng điều đó cũng không thể được chứng minh là đúng trong những lý thuyết đó, minh chứng cho sự phỏng đoán của Gôdel.
Năm 1949, Gôdel cũng đóng góp quan trọng vào vật lý, cho thấy thuyết tương đối rộng của Einstein cho phép khả năng du hành thời gian.
