Định lý số nguyên tố, công thức cho giá trị gần đúng cho số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng bất kỳ số thực dương x đã cho. Ký hiệu thông thường cho số này là π (x), do đó π (2) = 1, π (3.5) = 2 và π (10) = 4. Định lý số nguyên tố nói rằng với các giá trị lớn của x, π (x) xấp xỉ bằng x / ln (x). Các
bảng so sánh số lượng các số nguyên tố thực tế và dự đoán cho các giá trị khác nhau của x.
lý thuyết số: Định lý số nguyên tố
Một trong những thành tựu tối cao của toán học thế kỷ 19 là định lý số nguyên tố, và nó có giá trị một sự lạc đề ngắn gọn. Để bắt đầu,
Các nhà toán học Hy Lạp cổ đại là những người đầu tiên nghiên cứu các tính chất toán học của số nguyên tố. (Trước đó, nhiều người đã nghiên cứu những con số như vậy vì phẩm chất được cho là thần bí hoặc tâm linh của họ.) đầu tiên để chứng minh rằng không có số nguyên tố lớn nhất; nói cách khác, có vô số số nguyên tố. Trong các thế kỷ tiếp theo, các nhà toán học đã tìm kiếm và thất bại trong việc tìm ra một số công thức mà họ có thể tạo ra một chuỗi các số nguyên tố không có hồi kết. Thất bại trong nhiệm vụ này cho một công thức rõ ràng, những người khác bắt đầu suy đoán về các công thức có thể mô tả sự phân phối chung của các số nguyên tố. Do đó, định lý số nguyên tố xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1798 như là một phỏng đoán của nhà toán học người Pháp Adrien-Marie Legendre. Trên cơ sở nghiên cứu bảng số nguyên tố lên tới 1.000.000, Legendre tuyên bố rằng nếu x không lớn hơn 1.000.000, thì x / (ln (x) - 1.08366) rất gần với π (x). Kết quả này thực sự với bất kỳ hằng số nào, không chỉ 1.08366 mà về cơ bản là tương đương với định lý số nguyên tố, trong đó nêu kết quả cho hằng số 0. Tuy nhiên, hiện tại đã biết rằng hằng số mang lại xấp xỉ tốt nhất cho π (x), cho x tương đối nhỏ, là 1.
Nhà toán học vĩ đại người Đức Carl Friedrich Gauss cũng đã phỏng đoán tương đương với định lý số nguyên tố trong sổ ghi chép của mình, có lẽ trước năm 1800. Tuy nhiên, định lý này không được chứng minh cho đến năm 1896, khi các nhà toán học người Pháp Jacques-Salomon Hadamard và Charles de la Valée Muffsin độc lập cho thấy trong giới hạn (khi x tăng lên vô cùng) tỷ lệ x / ln (x) bằng π (x).
Mặc dù định lý số nguyên tố cho chúng ta biết rằng sự khác biệt giữa π (x) và x / ln (x) trở nên nhỏ một cách tương đối so với kích thước của một trong hai số này khi x trở nên lớn, người ta vẫn có thể yêu cầu ước tính về sự khác biệt đó. Ước tính tốt nhất về sự khác biệt này được phỏng đoán sẽ được đưa ra bởi Căn bậc hai của √x ln (x).
