Hippocrates of Chios (fl. C. 460 bc) đã chứng minh rằng các khu vực hình mặt trăng giữa các cung tròn, được gọi là lunes, có thể được biểu thị chính xác như một khu vực trực tràng, hoặc hình cầu. Trong trường hợp đơn giản sau đây, hai lunes được phát triển xung quanh các cạnh của một tam giác vuông có diện tích kết hợp bằng với tam giác.
-
Bắt đầu với ABC bên phải, vẽ một đường tròn có đường kính trùng với AB (cạnh c), cạnh huyền. Bởi vì bất kỳ tam giác vuông nào được vẽ với đường kính của đường tròn cho cạnh huyền của nó phải được ghi trong vòng tròn, C phải nằm trên đường tròn.
-
Vẽ hình bán nguyệt có đường kính AC (bên b) và BC (bên a) như trong hình.
-
Dán nhãn cho các kết quả L 1 và L 2 và các phân đoạn kết quả S 1 và S 2, như được chỉ ra trong hình.
-
Bây giờ tổng của các lunes (L 1 và L 2) phải bằng tổng của các hình bán nguyệt (L 1 + S 1 và L 2 + S 2) có chứa chúng trừ hai đoạn (S 1 và S 2). Do đó, L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (a / 2) 2 - S 2 (vì diện tích của một hình tròn bằng π lần bình phương của bán kính).
-
Tổng các đoạn (S 1 và S 2) bằng diện tích của hình bán nguyệt dựa trên AB trừ đi diện tích của tam giác. Do đó, S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ABC.
-
Thay biểu thức ở bước 5 vào bước 4 và bao gồm các thuật ngữ phổ biến, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - c 2) + ΔABC.
-
Vì ∠ACB = 90 °, a 2 + b 2 - c 2 = 0, theo định lý Pythagore. Do đó, L 1 + L 2 = ΔABC.
Hippocrates đã xoay sở để tạo ra một số loại lunes, một số vòng cung lớn hơn và nhỏ hơn hình bán nguyệt, và anh ta đã hăm dọa, mặc dù anh ta có thể không tin, rằng phương pháp của anh ta có thể vuông cả một vòng tròn. Vào cuối thời đại cổ điển, Boethius (c. Ad 470 470524), người có các bản dịch tiếng Latin của đoạn trích Euclid sẽ giữ ánh sáng hình học nhấp nháy trong nửa thiên niên kỷ, đã đề cập rằng ai đó đã hoàn thành bình phương của vòng tròn. Cho dù thiên tài chưa biết sử dụng lunes hoặc một số phương pháp khác không được biết, vì thiếu không gian, Boethius đã không đưa ra các cuộc biểu tình. Do đó, ông đã truyền thử thách về hình vuông của hình tròn cùng với các mảnh hình học có vẻ hữu ích trong việc thực hiện nó. Người châu Âu giữ nhiệm vụ không may mắn trong Khai sáng. Cuối cùng, vào năm 1775, Viện hàn lâm Khoa học Paris, đã chán ngấy với nhiệm vụ phát hiện ra những ngụy biện trong nhiều giải pháp được đệ trình, từ chối không có bất cứ điều gì liên quan đến các squarers vòng tròn.
