Toán học hàm Riemann zeta

Hàm Riemann zeta, hàm hữu ích trong lý thuyết số để nghiên cứu tính chất của số nguyên tố. Được viết là (x), ban đầu nó được định nghĩa là chuỗi vô hạnζ (x) = 1 + 2 ^x + 3 ^x + 4 ^−x +. Khi x = 1, chuỗi này được gọi là chuỗi hài, tăng mà không bị ràng buộc, tức là tổng của nó là vô hạn. Đối với các giá trị x lớn hơn 1, chuỗi hội tụ đến một số hữu hạn khi các số hạng liên tiếp được thêm vào. Nếu x nhỏ hơn 1, tổng lại là vô hạn. Hàm zeta được nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler biết đến vào năm 1737, nhưng lần đầu tiên nó được nghiên cứu rộng rãi bởi nhà toán học người Đức Bernhard Riemann.

Vào năm 1859, Riemann đã xuất bản một bài báo đưa ra một công thức rõ ràng cho số lượng các số nguyên tố cho đến bất kỳ giới hạn được chỉ định nào. Tuy nhiên, công thức của Riemann phụ thuộc vào việc biết các giá trị mà tại đó một phiên bản tổng quát của hàm zeta bằng không. (Hàm zeta Riemann được xác định cho tất cả các số phức Số số có dạng x + iy, trong đó i = Căn bậc hai của √ — 1 trừ trừ dòng x = 1.) Riemann biết rằng hàm bằng 0 cho tất cả âm số nguyên −2, −4, 6,

(được gọi là số không tầm thường) và nó có số lượng số không vô hạn trong dải số phức quan trọng giữa các dòng x = 0 và x = 1, và anh ta cũng biết rằng tất cả các số không không đối xứng đều đối xứng với mức tới hạn dòng x = ¹ / ₂. Riemann phỏng đoán rằng tất cả các số không không có giá trị nằm trên đường tới hạn, một phỏng đoán mà sau đó được gọi là giả thuyết Riemann.

Năm 1900, nhà toán học người Đức David Hilbert đã gọi giả thuyết Riemann là một trong những câu hỏi quan trọng nhất trong tất cả các toán học, được chỉ ra bằng cách đưa nó vào danh sách ảnh hưởng của 23 vấn đề chưa được giải quyết mà ông đã thách thức các nhà toán học thế kỷ 20. Năm 1915, nhà toán học người Anh Godfrey Hardy đã chứng minh rằng vô số số không xảy ra trên đường tới hạn, và đến năm 1986, các số 0 không giới hạn đầu tiên được hiển thị là nằm trên đường tới hạn. Mặc dù giả thuyết có thể chưa thành hiện thực, nhưng các cuộc điều tra về vấn đề khó khăn này đã làm phong phú thêm sự hiểu biết về các số phức.