Hình học Euclide
Nếu chúng ta xem xét hình học Euclide, chúng ta thấy rõ rằng nó đề cập đến các quy định điều chỉnh vị trí của các cơ thể cứng nhắc. Nó chuyển sang suy nghĩ khéo léo trong việc truy tìm lại tất cả các mối quan hệ liên quan đến các cơ quan và vị trí tương đối của chúng với khái niệm rất đơn giản. Khoảng cách từ xa (Strecke). Khoảng cách biểu thị một cơ thể cứng nhắc trên đó hai điểm vật chất (nhãn hiệu) đã được chỉ định. Khái niệm về sự bằng nhau của khoảng cách (và góc) đề cập đến các thí nghiệm liên quan đến sự trùng hợp; những nhận xét tương tự áp dụng cho các định lý về đồng quy. Bây giờ, hình học Euclide, ở dạng mà nó đã được truyền lại cho chúng tôi từ Euclid, sử dụng các khái niệm cơ bản Đường thẳng thẳng và mặt phẳng Máy bay dường như không tương ứng, hoặc ở bất kỳ tỷ lệ nào, không trực tiếp như vậy, với kinh nghiệm liên quan đến vị trí của các cơ thể cứng nhắc. Về điều này phải nhận xét rằng khái niệm về đường thẳng có thể được giảm xuống bằng khoảng cách.1 Hơn nữa, các nhà hình học ít quan tâm đến việc đưa ra mối quan hệ của các khái niệm cơ bản của họ để trải nghiệm hơn là suy luận một cách logic các mệnh đề hình học từ một vài tiên đề được nêu ra ngay từ đầu.
Chúng ta hãy phác thảo ngắn gọn làm thế nào có lẽ cơ sở của hình học Euclide có thể thu được từ khái niệm khoảng cách.
Chúng ta bắt đầu từ sự bằng nhau của khoảng cách (tiên đề của sự bằng nhau của khoảng cách). Giả sử rằng hai khoảng cách không bằng nhau, một khoảng cách luôn luôn lớn hơn khoảng cách khác. Các tiên đề tương tự là giữ cho bất đẳng thức về khoảng cách như giữ cho bất đẳng thức về số.
Ba khoảng cách AB 1, BC 1, CA 1 có thể, nếu CA 1 được chọn phù hợp, có các dấu BB 1, CC 1, AA 1 chồng lên nhau theo cách sao cho tam giác ABC có kết quả. Khoảng cách CA 1 có giới hạn trên mà việc xây dựng này vẫn có thể thực hiện được. Các điểm A, (BB ') và C sau đó nằm trong một đường thẳng (định nghĩa). Điều này dẫn đến các khái niệm: tạo ra một khoảng cách bằng một lượng bằng chính nó; chia một khoảng cách thành các phần bằng nhau; biểu thị khoảng cách theo số bằng một thanh đo (định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm).
Khi khái niệm khoảng giữa hai điểm hoặc độ dài của khoảng cách đã đạt được theo cách này, chúng ta chỉ cần các tiên đề sau (định lý Pythagoras) để đi đến phân tích hình học Euclide.
Đối với mỗi điểm của không gian (phần tham chiếu), ba số (tọa độ) x, y, z có thể được gán cho Đích và ngược lại, theo cách sao cho mỗi cặp điểm A (x 1, y 1, z 1) và B (x 2, y 2, z 2) định lý giữ:
số đo AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Tất cả các khái niệm và đề xuất tiếp theo của hình học Euclide sau đó có thể được xây dựng hoàn toàn hợp lý trên cơ sở này, đặc biệt là các đề xuất về đường thẳng và mặt phẳng.
Tất nhiên, những nhận xét này không nhằm thay thế việc xây dựng tiên đề nghiêm ngặt của hình học Euclide. Chúng tôi chỉ muốn chỉ ra một cách hợp lý làm thế nào tất cả các khái niệm về hình học có thể được truy nguyên từ khoảng cách. Chúng ta cũng có thể đã điển hình hóa toàn bộ cơ sở của hình học Euclide trong định lý cuối cùng ở trên. Mối quan hệ với các nền tảng của kinh nghiệm sau đó sẽ được cung cấp bằng một định lý bổ sung.
Phối hợp có thể và phải được chọn sao cho hai cặp điểm cách nhau một khoảng bằng nhau, theo tính toán của định lý Pythagoras, có thể trùng với một và cùng một khoảng cách được chọn phù hợp (trên vật rắn).
Các khái niệm và đề xuất của hình học Euclide có thể được bắt nguồn từ đề xuất của Pythagoras mà không cần giới thiệu các cơ quan cứng nhắc; nhưng những khái niệm và đề xuất này sau đó sẽ không có nội dung có thể được kiểm tra. Chúng không phải là các mệnh đề đúng của Viking mà chỉ là các mệnh đề đúng về mặt nội dung chính thức.
