Phân tích toán học

Lịch sử phân tích

Người Hy Lạp gặp phải cường độ liên tục

Phân tích bao gồm những phần của toán học trong đó thay đổi liên tục là quan trọng. Chúng bao gồm nghiên cứu về chuyển động và hình học của các đường cong và bề mặt trơn tru nói riêng, tính toán các tiếp tuyến, diện tích và thể tích. Các nhà toán học Hy Lạp cổ đại đã đạt được tiến bộ lớn trong cả lý thuyết và thực hành phân tích. Lý thuyết đã buộc họ phải mất khoảng 500 bce bởi phát hiện của Pythagore về cường độ phi lý và khoảng 450 bce bởi nghịch lý chuyển động của Zeno.

Pythagore và số vô tỷ

Ban đầu, người Pythagore tin rằng tất cả mọi thứ có thể được đo bằng các số tự nhiên rời rạc (1, 2, 3,

) và tỷ lệ của chúng (phân số thông thường hoặc số hữu tỷ). Tuy nhiên, niềm tin này đã bị lung lay bởi việc phát hiện ra rằng đường chéo của một hình vuông đơn vị (nghĩa là một hình vuông có các cạnh có độ dài bằng 1) không thể được biểu thị bằng một số hữu tỷ. Phát hiện này được đưa ra bởi định lý Pythagore của chính họ, họ đã xác định rằng hình vuông trên cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương ở hai cạnh còn lại trong ký hiệu hiện đại, c ² = a ² + b ². Trong một hình vuông đơn vị, đường chéo là cạnh huyền của một tam giác vuông, với các cạnh a = b = 1; do đó, số đo của nó là Căn bậc hai của —2 một số vô tỷ. Chống lại ý định của riêng họ, Pythagore đã chỉ ra rằng các số hữu tỷ không đủ để đo các vật thể hình học đơn giản. (Xem Sidebar: Incommensurables.) Phản ứng của họ là tạo ra một số học của các phân đoạn dòng, như được tìm thấy trong Quyển II về các yếu tố của Euclid (khoảng 300 bce), bao gồm một cách giải thích hình học về các số hữu tỷ. Đối với người Hy Lạp, các phân đoạn dòng nói chung hơn các con số, bởi vì chúng bao gồm các cường độ liên tục cũng như rời rạc.

Thật vậy, căn bậc hai của 2 chỉ có thể liên quan đến các số hữu tỷ thông qua một quá trình vô hạn. Điều này đã được nhận ra bởi Euclid, người đã nghiên cứu số học của cả số hữu tỷ và phân đoạn dòng. Thuật toán Euclide nổi tiếng của ông, khi được áp dụng cho một cặp số tự nhiên, dẫn đến một số bước hữu hạn cho ước số chung lớn nhất của chúng. Tuy nhiên, khi áp dụng cho một cặp phân đoạn dòng có tỷ lệ không hợp lý, chẳng hạn như Căn bậc hai của 2 và 1, nó không thể kết thúc. Euclid thậm chí đã sử dụng đặc tính hủy diệt này như một tiêu chí cho sự bất hợp lý. Do đó, sự bất hợp lý đã thách thức khái niệm số của Hy Lạp bằng cách buộc họ phải đối phó với các quá trình vô hạn.

Nghịch lý của Zeno và khái niệm về chuyển động

Giống như căn bậc hai của2 là một thách thức đối với khái niệm số của người Hy Lạp, nghịch lý của Zeno là một thách thức đối với khái niệm chuyển động của họ. Trong Vật lý của mình (khoảng 350 bce), Aristotle đã trích dẫn Zeno nói:

Không có chuyển động bởi vì cái được di chuyển phải đến giữa [của khóa học] trước khi nó đến cuối.

Lập luận của Zeno chỉ được biết đến thông qua Aristotle, người đã trích dẫn chúng chủ yếu để bác bỏ chúng. Có lẽ, Zeno có nghĩa là, để đi đến bất cứ nơi nào, trước tiên, người ta phải đi được nửa chặng đường và trước đó một phần tư chặng đường và trước đó một phần tám chặng đường, v.v. Bởi vì quá trình giảm một nửa khoảng cách này sẽ diễn ra vô tận (một khái niệm mà người Hy Lạp sẽ không chấp nhận), Zeno tuyên bố với Hồi chứng minh rằng thực tế bao gồm sự bất biến. Tuy nhiên, bất chấp sự ghê tởm vô tận của họ, người Hy Lạp nhận thấy rằng khái niệm này là không thể thiếu trong toán học về cường độ liên tục. Vì vậy, họ đã suy luận về sự vô hạn một cách hữu hạn nhất có thể, trong một khung logic được gọi là lý thuyết về tỷ lệ và sử dụng phương pháp cạn kiệt.

Lý thuyết về tỷ lệ được tạo ra bởi Eudoxus khoảng 350 bce và được bảo tồn trong Sách V về các yếu tố của Euclid. Nó thiết lập một mối quan hệ chính xác giữa cường độ hợp lý và cường độ tùy ý bằng cách xác định hai cường độ bằng nhau nếu cường độ hợp lý nhỏ hơn chúng là như nhau. Nói cách khác, hai cường độ chỉ khác nhau nếu có một cường độ hợp lý nghiêm ngặt giữa chúng. Định nghĩa này đã phục vụ các nhà toán học trong hai thiên niên kỷ và mở đường cho việc phân tích hợp lý hóa trong thế kỷ 19, trong đó các số tùy ý được xác định chặt chẽ theo các số hữu tỷ. Lý thuyết về tỷ lệ là sự đối xử nghiêm ngặt đầu tiên về khái niệm giới hạn, một ý tưởng là cốt lõi của phân tích hiện đại. Theo thuật ngữ hiện đại, lý thuyết của Eudoxus định nghĩa độ lớn tùy ý là giới hạn của độ lớn hợp lý và các định lý cơ bản về tổng, hiệu và tích của độ lớn tương đương với các định lý về tổng, hiệu và giới hạn.