Nhà toán học Hy Lạp Diophantus

Diophantus, byname Diophantus của Alexandria, (hưng thịnh c. 250), nhà toán học Hy Lạp, nổi tiếng với công trình về đại số.

lý thuyết số: Diophantus

Trong số các nhà toán học Hy Lạp sau này, đặc biệt đáng chú ý là Diophantus của Alexandria (hưng thịnh khoảng 250), tác giả

Những gì ít được biết về cuộc sống của Diophantus là hoàn cảnh. Từ tên gọi xuất sắc của Alexandria, dường như ông đã làm việc trong trung tâm khoa học chính của thế giới Hy Lạp cổ đại; và bởi vì anh ta không được nhắc đến trước thế kỷ thứ 4, nên dường như anh ta đã phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ thứ 3. Một epigram số học từ Anthologia Graeca của thời cổ đại, có ý định lấy lại một số mốc của cuộc đời anh ta (hôn nhân ở tuổi 33, sinh con trai 38 tuổi, chết con trai bốn tuổi trước khi anh ta 84 tuổi), cũng có thể bị tước đoạt. Hai tác phẩm đã đến với chúng tôi dưới tên của ông, cả hai không đầy đủ. Đầu tiên là một đoạn nhỏ trên các số đa giác (một số là đa giác nếu cùng một số chấm có thể được sắp xếp theo dạng đa giác thông thường). Thứ hai, một chuyên luận lớn và cực kỳ có ảnh hưởng mà tất cả danh tiếng cổ xưa và hiện đại của Diophantus đều lặp lại, là Arithmetica của ông. Tầm quan trọng lịch sử của nó có hai mặt: đây là công trình đầu tiên được biết đến sử dụng đại số theo phong cách hiện đại, và nó truyền cảm hứng cho sự tái sinh của lý thuyết số.

Arithmetica bắt đầu bằng phần giới thiệu gửi đến Dionysius, người được cho là Thánh Dionysius của Alexandria. Sau một số khái quát về các con số, Diophantus giải thích tính biểu tượng của mình, anh ta sử dụng các ký hiệu cho ẩn số (tương ứng với x của chúng ta) và sức mạnh của nó, tích cực hoặc tiêu cực, cũng như đối với một số phép toán số học, hầu hết các ký hiệu này đều là chữ viết tắt rõ ràng. Đây là lần xuất hiện đầu tiên và duy nhất của biểu tượng đại số trước thế kỷ 15. Sau khi dạy phép nhân các lũy thừa của ẩn số, Diophantus giải thích phép nhân của các số hạng tích cực và tiêu cực và sau đó làm thế nào để giảm một phương trình thành một chỉ với các số hạng tích cực (dạng chuẩn được ưa thích trong thời cổ đại). Với những bước sơ bộ này, Diophantus tiến hành các vấn đề. Thật vậy, Arithmetica về cơ bản là một tập hợp các vấn đề với các giải pháp, khoảng 260 trong phần vẫn còn tồn tại.

Phần giới thiệu cũng nói rằng tác phẩm được chia thành 13 cuốn sách. Sáu trong số những cuốn sách này được biết đến ở châu Âu vào cuối thế kỷ 15, được truyền tải bằng tiếng Hy Lạp bởi các học giả Byzantine và được đánh số từ I đến VI; bốn cuốn sách khác được phát hiện vào năm 1968 trong bản dịch tiếng Ả Rập thế kỷ thứ 9 của Qusṭā ibn Lūqā. Tuy nhiên, văn bản tiếng Ả Rập thiếu tính biểu tượng toán học, và nó dường như được dựa trên một bài bình luận tiếng Hy Lạp sau này có lẽ là của Hypatia (c. 370 3714415) Làmthat pha loãng sự biểu lộ của Diophantus. Bây giờ chúng ta biết rằng việc đánh số các sách Hy Lạp phải được sửa đổi: Arithmetica do đó bao gồm các Sách I đến III bằng tiếng Hy Lạp, Sách IV đến VII bằng tiếng Ả Rập và có lẽ là Sách VIII đến X bằng tiếng Hy Lạp (Sách Hy Lạp cũ IV đến VI). Việc đánh số lại là không thể; một điều khá chắc chắn là Byzantines chỉ biết sáu cuốn sách mà họ truyền tải và người Ả Rập không hơn Sách I đến VII trong phiên bản đã nhận xét.

Các vấn đề của Sách I không phải là đặc trưng, ​​chủ yếu là các vấn đề đơn giản được sử dụng để minh họa cho việc tính toán đại số. Các đặc điểm khác biệt của các vấn đề của Diophantus xuất hiện trong các cuốn sách sau: chúng không xác định (có nhiều hơn một giải pháp), ở mức độ thứ hai hoặc có thể giảm xuống mức độ thứ hai (công suất cao nhất trên các thuật ngữ biến đổi là 2, tức là x ²) và kết thúc bằng việc xác định giá trị hợp lý dương cho ẩn số sẽ làm cho biểu thức đại số đã cho thành một hình vuông số hoặc đôi khi là một khối lập phương. (Trong toàn bộ cuốn sách của mình, Diophantus sử dụng số thứ tự, để chỉ những gì được gọi là số dương, số hữu tỷ; do đó, một số vuông là bình phương của một số số dương, hợp lý.) Sách II và III cũng dạy các phương pháp chung. Trong ba vấn đề của Quyển II, nó được giải thích cách thể hiện: (1) bất kỳ số vuông đã cho nào dưới dạng tổng bình phương của hai số hữu tỷ; (2) bất kỳ số không vuông nào đã cho, là tổng của hai hình vuông đã biết, là tổng của hai hình vuông khác; và (3) bất kỳ số hữu tỷ nào cho là hiệu của hai hình vuông. Mặc dù các vấn đề thứ nhất và thứ ba được nói chung, kiến ​​thức giả định về một giải pháp trong vấn đề thứ hai cho thấy rằng không phải mọi số hữu tỷ đều là tổng của hai bình phương. Diophantus sau đó đưa ra điều kiện cho một số nguyên: số đã cho không được chứa bất kỳ thừa số nguyên tố nào có dạng 4n + 3 được nâng lên thành một số lẻ, trong đó n là số nguyên không âm. Những ví dụ như vậy thúc đẩy sự tái sinh của lý thuyết số. Mặc dù Diophantus thường hài lòng khi có được một giải pháp cho một vấn đề, đôi khi anh ta đề cập đến những vấn đề tồn tại vô số giải pháp.

Trong các sách IV đến VII Diophantus mở rộng các phương pháp cơ bản như các phương pháp được nêu ở trên cho các vấn đề ở mức độ cao hơn có thể được giảm xuống một phương trình nhị thức của cấp độ thứ nhất hoặc thứ hai. Lời mở đầu cho những cuốn sách này nói rằng mục đích của chúng là cung cấp cho người đọc kinh nghiệm và kỹ năng. Mặc dù khám phá gần đây này không làm tăng kiến ​​thức về toán học của Diophantus, nhưng nó làm thay đổi việc đánh giá khả năng sư phạm của anh ta. Sách VIII và IX (có lẽ là Sách Hy Lạp IV và V) giải quyết các vấn đề khó khăn hơn, ngay cả khi các phương pháp cơ bản vẫn giữ nguyên. Chẳng hạn, một vấn đề liên quan đến việc phân tách một số nguyên đã cho thành tổng của hai hình vuông gần nhau tùy ý. Một vấn đề tương tự liên quan đến việc phân tách một số nguyên cho trước thành tổng của ba hình vuông; trong đó, Diophantus loại trừ trường hợp không thể có số nguyên có dạng 8n + 7 (một lần nữa, n là số nguyên không âm). Quyển X (có lẽ là Sách Hy Lạp VI) liên quan đến các tam giác vuông với các cạnh hợp lý và chịu các điều kiện khác nhau.

Nội dung của ba cuốn sách còn thiếu của Arithmetica có thể được phỏng đoán từ phần giới thiệu, trong đó, sau khi nói rằng việc giảm bớt một vấn đề nên nếu có thể, thì kết luận với một phương trình nhị thức, Diophantus nói thêm rằng sau này ông sẽ xử lý vụ án của một phương trình tam thức, một lời hứa không được thực hiện trong phần còn lại.

Mặc dù ông có các công cụ đại số hạn chế theo ý của mình, Diophantus đã xoay sở để giải quyết rất nhiều vấn đề, và các nhà toán học Ả Rập lấy cảm hứng từ Arithmetica như al-Karajī (c. 980 9801030) để áp dụng các phương pháp của ông. Phần mở rộng nổi tiếng nhất của công trình Diophantus là của Pierre de Fermat (1601 Hóa65), người sáng lập lý thuyết số hiện đại. Trong lề của bản sao Arithmetica của mình, Fermat đã viết nhiều nhận xét khác nhau, đề xuất các giải pháp mới, sửa chữa và khái quát hóa các phương pháp của Diophantus cũng như một số phỏng đoán như định lý cuối cùng của Fermat, đã chiếm lĩnh các nhà toán học trong nhiều thế hệ. Các phương trình không xác định được giới hạn trong các giải pháp tích phân đã được biết đến, mặc dù không thích hợp, như các phương trình Diophantine.