Toán học giả thuyết liên tục

Giả thuyết liên tục, tuyên bố của lý thuyết tập hợp rằng tập hợp các số thực (tính liên tục) theo nghĩa nhỏ nhất có thể. Vào năm 1873, nhà toán học người Đức Georg Cantor đã chứng minh rằng tính liên tục là không thể đếm được, đó là số thực là vô hạn lớn hơn số đếm, một kết quả quan trọng trong việc bắt đầu lý thuyết tập hợp thành một môn học toán học. Hơn nữa, Cantor đã phát triển một cách phân loại kích thước của các tập hợp vô hạn theo số lượng phần tử hoặc số phần tử của nó. (Xem lý thuyết tập hợp: Cardinality và số vô hạn.) Trong các thuật ngữ này, giả thuyết liên tục có thể được nêu ra như sau: Cardinality của tính liên tục là số đếm không đếm được nhỏ nhất.

lý thuyết tập hợp: Cardinality và số vô hạn

một phỏng đoán được gọi là giả thuyết liên tục.

Trong ký hiệu Cantor, giả thuyết liên tục có thể được quy định bởi phương trình đơn giản 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁, nơi ℵ ₀ là số hồng y của một tập hợp đếm được vô hạn (ví dụ như tập hợp các số tự nhiên), và số đếm của lớn “ Các bộ có trật tự tốt là ℵ ₁, ₂,

, ℵ _a,

, được lập chỉ mục bởi các số thứ tự. Cardinality của sự liên tục có thể được hiển thị để bằng 2 ^{ℵ ₀}; do đó, giả thuyết liên tục loại trừ sự tồn tại của một tập hợp kích thước trung gian giữa các số tự nhiên và liên tục.

Một tuyên bố mạnh là giả thuyết tổng quát liên tục (GCH): 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1} đối với mỗi số α thứ tự. Nhà toán học người Ba Lan Wacław Sierpiński đã chứng minh rằng với GCH, người ta có thể rút ra được tiên đề của sự lựa chọn.

Như với tiên đề của sự lựa chọn, nhà toán học người Mỹ gốc Áo Kurt Gödel đã chứng minh vào năm 1939 rằng, nếu các tiên đề Zermelo-Fraenkel tiêu chuẩn khác (ZF; xem

bảng) là nhất quán, sau đó họ không bác bỏ giả thuyết liên tục hoặc thậm chí GCH. Đó là, kết quả của việc thêm GCH vào các tiên đề khác vẫn nhất quán. Sau đó, vào năm 1963, nhà toán học người Mỹ Paul Cohen đã hoàn thành bức tranh bằng cách hiển thị, một lần nữa với giả định rằng ZF là nhất quán, rằng ZF không đưa ra một bằng chứng về giả thuyết liên tục.

Vì ZF không chứng minh cũng không bác bỏ giả thuyết liên tục, nên vẫn còn câu hỏi liệu có nên chấp nhận giả thuyết liên tục dựa trên một khái niệm không chính thức về tập hợp nào không. Câu trả lời chung trong cộng đồng toán học là tiêu cực: giả thuyết liên tục là một tuyên bố giới hạn trong bối cảnh không có lý do nào để áp đặt một giới hạn. Trong lý thuyết tập hợp, những người được chỉ định hoạt động điện-thiết lập để mỗi bộ cardinality ℵ _alpha bộ của tất cả các tập con, trong đó có cardinality 2 ^{ℵ _alpha}. Dường như không có lý do gì để áp đặt một giới hạn đối với sự đa dạng của các tập hợp con mà một tập hợp vô hạn có thể có.