Chuyên mục lý thuyết
Trừu tượng trong toán học
Một xu hướng gần đây trong sự phát triển của toán học là quá trình trừu tượng hóa dần dần. Nhà toán học người Na Uy Niels Henrik Abel (1802 đấu29) đã chứng minh rằng các phương trình bậc 5 không thể nói chung được giải quyết bằng các gốc tự do. Nhà toán học người Pháp Évariste Galois (1811 Chân32), được thúc đẩy một phần bởi công việc của Abel, đã đưa ra một số nhóm hoán vị để xác định các điều kiện cần thiết để phương trình đa thức có thể giải được. Các nhóm cụ thể này đã sớm tạo ra các nhóm trừu tượng, được mô tả tiên đề. Sau đó, người ta nhận ra rằng để nghiên cứu các nhóm, cần phải xem xét mối quan hệ giữa các nhóm khác nhau, đặc biệt là ở sự đồng hình hóa ánh xạ nhóm này sang nhóm khác trong khi duy trì hoạt động của nhóm. Do đó, mọi người bắt đầu nghiên cứu cái được gọi là thể loại cụ thể của các nhóm, có đối tượng là nhóm và mũi tên là đồng cấu. Không mất nhiều thời gian để các danh mục cụ thể được thay thế bằng các danh mục trừu tượng, một lần nữa được mô tả một cách tiên đề.
Khái niệm quan trọng về một thể loại đã được Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane đưa ra vào cuối Thế chiến II. Các loại hiện đại này phải được phân biệt với các loại của Aristotle, loại được gọi là loại tốt hơn trong bối cảnh hiện tại. Một thể loại không chỉ có các đối tượng mà còn có các mũi tên (còn được gọi là hình thái, biến đổi hoặc ánh xạ) giữa chúng.
Nhiều loại có các bộ đối tượng được trang bị một số cấu trúc và mũi tên, bảo tồn cấu trúc này. Do đó, tồn tại các loại tập hợp (có cấu trúc trống) và ánh xạ, của các nhóm và đồng cấu nhóm, của các vòng và đồng cấu vòng, của không gian vectơ và biến đổi tuyến tính, của không gian tôpô và ánh xạ liên tục, v.v. Thậm chí còn tồn tại, ở một mức độ trừu tượng hơn, phạm trù của các loại (nhỏ) và functor, vì hình thái giữa các loại được gọi, bảo tồn mối quan hệ giữa các đối tượng và mũi tên.
Không phải tất cả các loại có thể được xem theo cách cụ thể này. Ví dụ, các công thức của một hệ thống suy diễn có thể được coi là các đối tượng của một loại có mũi tên f: A → B là các suy luận của B từ A. Trên thực tế, quan điểm này rất quan trọng trong khoa học máy tính lý thuyết, trong đó các công thức được cho là như các loại và các khoản khấu trừ như các hoạt động.
Chính thức hơn, một danh mục bao gồm (1) một tập hợp các đối tượng A, B, C,…, (2) cho mỗi cặp đối tượng được sắp xếp trong bộ sưu tập một tập hợp các phép biến đổi có liên quan bao gồm cả danh tính I A ∶ A → A và (3) một định luật liên quan đến bố cục cho mỗi bộ ba đối tượng được sắp xếp trong danh mục sao cho f ∶ A → B và g ∶ B → C thành phần gf (hoặc g ○ f) là một phép biến đổi từ A sang C, tức là gf ∶ A → C. Ngoài ra, luật liên kết và các định danh được yêu cầu giữ (trong đó các tác phẩm được định nghĩa) -ie, h (gf) = (hg) f và 1 B f = f = f1 Một.
Theo một nghĩa nào đó, các đối tượng của một thể loại trừu tượng không có cửa sổ, giống như các đơn nguyên của Leibniz. Để suy ra phần bên trong của một đối tượng Một người chỉ cần nhìn vào tất cả các mũi tên từ các đối tượng khác đến A. Ví dụ, trong danh mục các tập hợp, các phần tử của tập A có thể được biểu thị bằng các mũi tên từ một phần tử điển hình thành A. Tương tự như vậy, trong các loại các loại nhỏ, nếu 1 là loại với một đối tượng và không có mũi tên nonidentity, các đối tượng thuộc một thể loại A có thể được xác định với functors 1 → một. Hơn nữa, nếu 2 là loại với hai đối tượng và một nonidentity mũi tên, mũi tên của A có thể được xác định với functors 2 → Một.
Cấu trúc đẳng cấu
Một mũi tên f: A → B được gọi là đẳng cấu nếu có một mũi tên g: B → Một nghịch với f-đó là, như vậy mà g ○ f = 1 Một và f ○ g = 1 B. Điều này được viết A ≅ B, và A và B được gọi là đẳng cấu, nghĩa là về cơ bản chúng có cùng cấu trúc và không cần phân biệt giữa chúng. Inasmuch như các thực thể toán học là đối tượng của các thể loại, chúng chỉ được đưa ra tối đa cho đẳng cấu. Các cấu trúc lý thuyết tập hợp truyền thống của họ, ngoài việc phục vụ một mục đích hữu ích trong việc thể hiện tính nhất quán, thực sự không liên quan.
Ví dụ, trong cấu trúc thông thường của vòng số nguyên, một số nguyên được định nghĩa là một lớp tương đương của các cặp (m, n) của các số tự nhiên, trong đó (m, n) tương đương với (m ′, n ′) nếu và chỉ khi m + n = m + n. Ý tưởng là lớp tương đương của (m, n) sẽ được xem là m - n. Tuy nhiên, điều quan trọng đối với một nhà phân loại là vòng số nguyên là một đối tượng ban đầu trong danh mục các vòng và đồng cấu hình, đó là, đối với mỗi vòng có một phép đồng hình duy nhất ℤ →. Nhìn theo cách này, chỉ được đưa ra tối đa. Theo cùng một tinh thần, không nên nói rằng được chứa trong trường của các số hữu tỷ mà chỉ có sự đồng hình → là một đối một. Tương tự như vậy, sẽ không có ý nghĩa gì khi nói về giao điểm lý thuyết tập hợp của π và Căn bậc hai của √-1, nếu cả hai được biểu thị dưới dạng tập hợp các tập hợp (ad infinitum).
Quan tâm đặc biệt đến các cơ sở và các nơi khác là functor (F, G). Đây là các cặp hàm nối giữa hai loại và, đi theo hai hướng ngược nhau sao cho tồn tại một sự tương ứng một-một giữa bộ mũi tên F (A) → B trong ℬ và bộ mũi tên A → G (B) trong ?, nghĩa là các tập hợp là đẳng cấu.
